ASP.NET AJAX Control Toolkit Extender を利用して自作 Extender コントロールを作成する
かるあ のメモ からです。
簡単な ASP.NET AJAX の Extender を作って見る1
簡単な ASP.NET AJAX の Extender を作って見る2
簡単な ASP.NET AJAX の Extender を作って見る3
かるあさんが自作の AJAX Control 作成方法について投稿されています。私もとある理由で自作 Control 入門辺りを触れていたのでちょっと付け足しを。
かるあさんの方法でも問題無いかと思ったのですが、実際はもう少し簡単にできます。AJAX Control Toolkit をダウンロードして付属で付いてくる AjaxControlExtender.vsi をインストールすると新しいテンプレートがインストールされます。
参照
ASP.NET "AJAX" ~ AJAX Control Toolkit までインストールしてみよう。
インストール後に新しいプロジェクトを作成しようとすると、マイテンプレートに【ASP.NET AJAX Control Project】が追加されるのでそれを選択します。

【ASP.NET AJAX Control Project】を選択するとこんなソリューションが出来上がります。各ファイルに最低限の情報が書かれているのでこの方法を利用するのがいいかと思います。

結構古いんですが以前の投稿がこの辺りのファイルについて触れているので参考にしてみるといいかも知れません。
Creating a new extender ("Atlas" Control Extender 作成方法)
Designer ファイルはあまりいじらないファイルだと思いますが、もし HTML デザイナ上で色々動きを見てみたいとか、Extender というより、単体のコントロールとして開発した場合にはグラフィカルな UI も必要なのでいじる必要が出てくると思います。
Rating・ReorderList 等 AJAX Control Toolkit の中でグラフィカルな UI を利用しているコントロールのソースを見てみると参考になります。
AJAX チームの方も言っていましたが、既存のコントロールに少しだけ機能を拡張させたい時に継承による作成以外のアプローチとして使えると思うので知っておくと便利かと思います。